Quadratische Gleichungen lösen
Quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 lösen, mit Diskriminante, reellen oder komplexen Lösungen, Scheitelpunkt und Rechenweg.
2x² + 3x − 2 = 0
D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen.
- D = b² − 4ac = 3² − 4·2·(-2) = 25
- x = (−b ± √D) / 2a = (-3 ± √25) / 4
(-0,75; -3,125)
−b/a = -1,5 (Summe) · c/a = -1 (Produkt)
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Passend zu diesem Tool ausgewähltDer Rechner löst quadratische Gleichungen der Form ax² + bx + c = 0 mit der Lösungsformel, die in Deutschland Mitternachtsformel oder abc-Formel heißt und in Österreich große Lösungsformel. Er zeigt die Diskriminante D = b² − 4ac, die Lösungen x₁ und x₂, bei negativer Diskriminante die beiden komplexen Lösungen, dazu den Scheitelpunkt der Parabel, Summe und Produkt der Lösungen und den Rechenweg. Ist a = 0, erkennt er die lineare Gleichung und löst diese. Gerechnet wird im Browser.
So funktioniert das Tool
- 01Gleichung in Normalform bringenAlles auf eine Seite, sodass ax² + bx + c = 0 dasteht. Aus x² = 5x − 6 wird x² − 5x + 6 = 0.
- 02Koeffizienten eingebena, b und c mit Vorzeichen eintragen, fehlende Glieder als 0.
- 03Lösungen ablesenDiskriminante, Lösungen, Scheitelpunkt und Rechenweg erscheinen sofort.
Wann ist das nützlich?
- Hausaufgaben und KlausurvorbereitungEigene Rechnungen mit der Mitternachtsformel oder pq-Formel kontrollieren.
- Nullstellen von ParabelnSchnittpunkte einer Parabel mit der x-Achse bestimmen, etwa für Funktionsgraphen.
- Physik und TechnikWurfbahnen, Bremswege und Flächenaufgaben führen oft auf quadratische Gleichungen.
Beispiele
- Zwei Lösungenx² − 5x + 6 = 0 hat D = 25 − 24 = 1 und die Lösungen x₁ = 3 und x₂ = 2.
- Doppelte Lösung2x² + 4x + 2 = 0 hat D = 16 − 16 = 0 und die einzige Lösung x = −1.
- Komplexe Lösungenx² + 2x + 5 = 0 hat D = 4 − 20 = −16 und die Lösungen x = −1 + 2i und x = −1 − 2i.
Tipps für ein besseres Ergebnis
- pq-Formel bei a = 1Für x² + px + q = 0 gilt x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Mit a ≠ 1 zuerst durch a teilen, dann passen p = b/a und q = c/a.
- Vorzeichen mitnehmenBei x² − 5x + 6 ist b = −5, nicht 5. Die meisten Fehler entstehen beim Vorzeichen.
- Probe mit VietaDie Summe der Lösungen ist −b/a, ihr Produkt c/a. Bei x² − 5x + 6: 3 + 2 = 5 und 3 × 2 = 6.
Die Mitternachtsformel
Die Lösungen von ax² + bx + c = 0 lauten x = (−b ± √D) ÷ 2a mit der Diskriminante D = b² − 4ac. Der Name kommt aus dem Schulalltag: Die Formel soll man auch dann aufsagen können, wenn man um Mitternacht geweckt wird. In Österreich heißt sie große Lösungsformel, die pq-Formel entsprechend kleine Lösungsformel.
Was die Diskriminante verrät
Ist D größer als null, schneidet die Parabel die x-Achse zweimal, es gibt zwei reelle Lösungen. Ist D gleich null, berührt sie die Achse in einem Punkt, die Lösung ist doppelt. Ist D kleiner als null, liegt die Parabel ganz über oder unter der Achse, die Lösungen sind komplex.
Scheitelpunkt
Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Seine x-Koordinate ist −b ÷ 2a, die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen. Er liegt immer genau in der Mitte zwischen zwei reellen Lösungen.
Häufige Fragen
Wie löst man eine quadratische Gleichung?
In Normalform bringen und die Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a anwenden oder bei a = 1 die pq-Formel.
Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?
Die pq-Formel setzt a = 1 voraus, die Mitternachtsformel gilt für jedes a ungleich 0. Beide liefern dieselben Lösungen.
Was bedeutet eine negative Diskriminante?
Die Gleichung hat keine reellen Lösungen, sondern zwei konjugiert komplexe. Die Parabel schneidet die x-Achse nicht.
Was passiert bei a = 0?
Dann ist die Gleichung linear. Der Rechner löst bx + c = 0 und zeigt x = −c ÷ b.
Werden meine Eingaben gespeichert?
Nein. Die Berechnung läuft im Browser.