Calculadora de equação do 2º grau (Bhaskara)
Resolva equações do 2º grau pela fórmula de Bhaskara: delta, raízes reais ou complexas, vértice da parábola e conta passo a passo.
2x² + 3x − 2 = 0
Δ > 0: duas raízes reais e diferentes.
- Δ = b² − 4ac = 3² − 4·2·(-2) = 25
- x = (−b ± √Δ) / 2a = (-3 ± √25) / 4
(-0,75; -3,125)
−b/a = -1,5 (soma) · c/a = -1 (produto)
Experimente outra ferramenta
Escolhidas para acompanhar estaUma equação do 2º grau tem a forma ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. Esta calculadora resolve a equação pela fórmula de Bhaskara: você informa os coeficientes a, b e c e recebe o delta (Δ), as raízes (duas reais, uma dupla ou duas complexas), o vértice da parábola e a soma e o produto das raízes. A substituição dos seus números na fórmula aparece passo a passo, para comparar com o caderno e achar onde um sinal se perdeu. Se a for zero, a calculadora avisa que a equação é do 1º grau e mostra a solução dela.
Como usar esta ferramenta
- 01Deixe a equação na forma geralPasse tudo para um lado do sinal de igual: ax² + bx + c = 0. Por exemplo, 2x² = 2 − 3x vira 2x² + 3x − 2 = 0.
- 02Informe a, b e cCom o sinal. Se faltar um termo, o coeficiente dele é 0: em x² − 9 = 0, b vale 0.
- 03Leia as raízesAparecem x₁ e x₂, o delta e o que ele significa, o vértice e a fórmula com os seus números.
Quando isso é útil?
- Conferir exercíciosVerificar as raízes da lista de exercícios e ver em que passo o sinal mudou.
- FísicaDescobrir quando um objeto lançado para cima volta ao chão, que é uma equação do 2º grau no tempo.
- Problemas de geometriaAchar as medidas de um retângulo a partir da área e do perímetro.
Exemplos
- Duas raízes reais2x² + 3x − 2 = 0: Δ = 3² − 4·2·(−2) = 25. x = (−3 ± 5) ÷ 4, então as raízes são −2 e 0,5.
- Soma e produtox² − 5x + 6 = 0: Δ = 25 − 24 = 1 e x = (5 ± 1) ÷ 2, ou seja, 3 e 2. A soma é 5 (−b/a) e o produto é 6 (c/a), uma conferência rápida.
- Raiz duplax² − 4x + 4 = 0: Δ = 16 − 16 = 0. A única raiz é x = 2, e o vértice da parábola fica em (2, 0).
- Raízes complexasx² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16. Não há raízes reais; as complexas são x = −1 ± 2i.
- Equação incompletax² − 9 = 0 (b = 0) tem raízes −3 e 3. E x² − 7x = 0 (c = 0) tem raízes 0 e 7.
Dicas para um resultado melhor
- Cuidado com os sinaisEm x² − 5x + 6 = 0, b é −5, e não 5. Um sinal trocado leva a outras raízes.
- Confira substituindoColoque cada raiz na equação original: o resultado tem de dar 0. Com decimais, pode sair um número muito perto de zero por causa do arredondamento.
A fórmula de Bhaskara
As raízes de ax² + bx + c = 0 são x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, em que Δ = b² − 4ac é o discriminante, chamado de delta. No Brasil, a fórmula leva o nome do matemático indiano Bhaskara, do século 12, um costume quase exclusivo do país; em outros lugares ela é chamada de fórmula quadrática ou fórmula resolvente.
O que o delta diz
Se Δ > 0, há duas raízes reais diferentes e a parábola corta o eixo x em dois pontos. Se Δ = 0, há uma raiz dupla e a parábola só toca o eixo no vértice. Se Δ < 0, não há raízes reais: a parábola não toca o eixo, e as soluções são dois números complexos conjugados, −b/2a ± i·√(−Δ)/2a.
Vértice, soma e produto
O vértice da parábola y = ax² + bx + c fica em x = −b/2a, com altura c − b²/4a, ou −Δ/4a. Pelas relações de Girard, a soma das raízes é −b/a e o produto é c/a. A calculadora usa uma variante da fórmula que evita perder precisão quando b² é muito maior que 4ac.
Perguntas frequentes
O que acontece se a for 0?
Aí a equação não é do 2º grau, e sim do 1º grau: bx + c = 0, com solução x = −c/b. A calculadora avisa e mostra esse valor.
O que significa delta negativo?
Que não existe número real que satisfaça a equação. As raízes são números complexos, mostrados na forma a ± bi.
O que é raiz dupla?
É a única raiz de uma equação com delta igual a zero. Ela se chama dupla porque x₁ e x₂ coincidem.
Posso usar coeficientes decimais ou negativos?
Pode. Use vírgula ou ponto nos decimais e o sinal de menos nos negativos.
Como resolver uma equação incompleta?
Do mesmo jeito, com 0 no coeficiente que falta. Também dá para isolar o x: x² − 9 = 0 dá x = ±3, e x² − 7x = 0 vira x(x − 7) = 0.