Calculadora de ecuaciones de segundo grado
Resuelve ax² + bx + c = 0: discriminante, soluciones reales o complejas, vértice de la parábola y la fórmula con tus números.
2x² + 3x − 2 = 0
Δ > 0: dos soluciones reales distintas.
- Δ = b² − 4ac = 3² − 4·2·(-2) = 25
- x = (−b ± √Δ) / 2a = (-3 ± √25) / 4
(-0,75; -3,125)
−b/a = -1,5 (suma) · c/a = -1 (producto)
Prueba otra herramienta
Elegidas para acompañar a estaUna ecuación de segundo grado o cuadrática tiene la forma ax² + bx + c = 0, con a distinto de cero. Esta calculadora la resuelve con la fórmula general: escribe los coeficientes a, b y c y obtienes el discriminante, las soluciones (dos reales, una doble o dos complejas), el vértice de la parábola y la suma y el producto de las raíces. También muestra la sustitución de tus números en la fórmula, paso a paso, para que puedas compararla con tu cuaderno. Si a es cero, te avisa de que la ecuación es de primer grado y te da su solución.
Cómo usar esta herramienta
- 01Pasa la ecuación a la forma generalDeja todo a un lado del igual: ax² + bx + c = 0. Por ejemplo, 2x² = 2 − 3x se escribe 2x² + 3x − 2 = 0.
- 02Escribe a, b y cCon su signo. Si falta un término, su coeficiente es 0: en x² − 9 = 0, b vale 0.
- 03Lee las solucionesVerás x₁ y x₂, el discriminante con su interpretación, el vértice y la fórmula con tus números.
¿Cuándo es útil?
- Comprobar ejerciciosVerificar las soluciones de los deberes y ver dónde falló un signo en la sustitución.
- FísicaCalcular cuándo un objeto lanzado hacia arriba llega al suelo, que es una ecuación de segundo grado en el tiempo.
- Geometría y problemasHallar las medidas de un rectángulo a partir de su área y su perímetro.
Ejemplos
- Dos soluciones reales2x² + 3x − 2 = 0: Δ = 3² − 4·2·(−2) = 25. x = (−3 ± 5) ÷ 4, así que x₁ = −2 y x₂ = 0,5.
- Una raíz doblex² − 4x + 4 = 0: Δ = 16 − 16 = 0. La única solución es x = 2 y el vértice de la parábola está en (2; 0).
- Soluciones complejasx² + 2x + 5 = 0: Δ = 4 − 20 = −16. No hay soluciones reales; las complejas son x = −1 ± 2i.
- Ecuación incompletax² − 9 = 0 (b = 0): las soluciones son −3 y 3. Y x² − 7x = 0 (c = 0): 0 y 7.
Consejos para un mejor resultado
- Cuidado con los signosSi la ecuación es x² − 5x + 6 = 0, b es −5, no 5. Un signo cambiado da otras soluciones.
- Comprueba sustituyendoPon cada solución en la ecuación original: el resultado debe ser 0. Con decimales puede salir un número muy próximo a 0 por el redondeo.
La fórmula general
Las soluciones de ax² + bx + c = 0 son x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a. La expresión de dentro de la raíz, Δ = b² − 4ac, es el discriminante. En Brasil y otros países esta fórmula se conoce como fórmula de Bhaskara; en el ámbito hispano, como fórmula general o fórmula cuadrática.
Qué dice el discriminante
Si Δ > 0 hay dos soluciones reales distintas y la parábola corta el eje x en dos puntos. Si Δ = 0 hay una solución doble y la parábola toca el eje en su vértice. Si Δ < 0 no hay soluciones reales: la parábola no toca el eje y las soluciones son dos números complejos conjugados, −b/2a ± i·√(−Δ)/2a.
Vértice, suma y producto
El vértice de la parábola y = ax² + bx + c está en x = −b/2a, y su altura es c − b²/4a. Según las fórmulas de Vieta, la suma de las raíces es −b/a y su producto c/a, una forma rápida de comprobar un resultado. La calculadora usa una variante de la fórmula que evita perder precisión cuando b² es mucho mayor que 4ac.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a es 0?
Entonces no es una ecuación de segundo grado sino de primer grado, bx + c = 0, y su solución es x = −c/b. La calculadora te lo indica y te da ese valor.
¿Qué significa que no tenga soluciones reales?
Que el discriminante es negativo y no existe ningún número real que cumpla la ecuación. Sus soluciones son números complejos, que la calculadora muestra en la forma a ± bi.
¿Qué es una raíz doble?
La única solución de una ecuación con discriminante cero. Se llama doble porque x₁ y x₂ coinciden.
¿Puedo usar coeficientes decimales o negativos?
Sí. Escribe los decimales con coma o con punto y los negativos con el signo menos.
¿Cómo se resuelve una ecuación incompleta?
Igual que una completa, poniendo 0 en el coeficiente que falta. También se puede despejar: x² − 9 = 0 da x = ±3, y x² − 7x = 0 se factoriza como x(x − 7) = 0.