Résolution d’équation du second degré
Résoudre une équation du second degré ax² + bx + c = 0 avec le discriminant Δ : racines réelles ou complexes, sommet de la parabole et étapes du calcul.
2x² + 3x − 2 = 0
Δ > 0 : deux racines réelles distinctes.
- Δ = b² − 4ac = 3² − 4·2·(-2) = 25
- x = (−b ± √Δ) / 2a = (-3 ± √25) / 4
(-0,75; -3,125)
−b/a = -1,5 (Somme) · c/a = -1 (Produit)
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Une sélection pour compléter cet outilCe solveur résout les équations du second degré de la forme ax² + bx + c = 0 avec la méthode du discriminant, telle qu’on l’apprend en classe de 1re. Il calcule Δ = b² − 4ac, puis les racines x₁ et x₂ quand Δ est positif, la racine double quand Δ est nul et les deux racines complexes conjuguées quand Δ est négatif. Il donne aussi le sommet de la parabole, la somme et le produit des racines, et le détail des étapes. Si a vaut 0, il reconnaît une équation du premier degré et la résout.
Comment utiliser cet outil
- 01Mettre l’équation sous la forme ax² + bx + c = 0Tout passer du même côté du signe égal. Par exemple, x² = 3x − 2 devient x² − 3x + 2 = 0.
- 02Saisir a, b et cAvec leur signe : pour x² − 3x + 2, a = 1, b = −3 et c = 2.
- 03Lire les racines et les étapesΔ, les solutions, le sommet et les étapes s’affichent sous les champs.
Dans quels cas est-ce utile ?
- Devoirs et préparation du bacVérifier un calcul de discriminant et les racines d’un trinôme.
- Étude de fonctionsTrouver les points où une parabole coupe l’axe des abscisses et son extremum.
- Physique et économieTemps de chute, trajectoires ou seuils de rentabilité qui mènent à une équation du second degré.
Exemples
- Deux racines réellesx² − 5x + 6 = 0 : Δ = 25 − 24 = 1, d’où x₁ = 2 et x₂ = 3.
- Une racine doublex² − 6x + 9 = 0 : Δ = 0 et x = 3. La parabole touche l’axe en un seul point.
- Des racines complexesx² + 2x + 5 = 0 : Δ = −16, d’où x = −1 + 2i et x = −1 − 2i.
Conseils pour un meilleur résultat
- Garder les signesUn b négatif s’écrit −3, et −b vaut alors +3 dans la formule. C’est la source d’erreur la plus fréquente.
- Cas où b = 0 ou c = 0Pour x² − 9 = 0, b vaut 0. Pour x² − 4x = 0, c vaut 0 et l’on peut aussi factoriser par x.
- Vérifier avec la somme et le produitLes racines vérifient x₁ + x₂ = −b ÷ a et x₁ × x₂ = c ÷ a. Un bon moyen de contrôler sa copie.
La formule du discriminant
Les solutions de ax² + bx + c = 0, avec a non nul, s’écrivent x = (−b ± √Δ) ÷ 2a, où Δ = b² − 4ac. Quand Δ = 0, les deux formules donnent la même valeur −b ÷ 2a. Cette méthode fonctionne pour tout trinôme du second degré, sans avoir à chercher une factorisation.
Ce que dit le signe de Δ
Si Δ > 0, la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points : deux racines réelles. Si Δ = 0, elle le touche en un point : une racine double. Si Δ < 0, elle ne le rencontre pas : pas de racine réelle, mais deux racines complexes conjuguées de la forme p ± qi.
Le sommet de la parabole
Le sommet est le point le plus bas (si a > 0) ou le plus haut (si a < 0) de la parabole. Son abscisse vaut −b ÷ 2a, et son ordonnée s’obtient en remplaçant x par cette valeur, ce qui donne aussi −Δ ÷ 4a. Il se trouve toujours à mi-chemin entre les deux racines réelles.
Questions fréquentes
Comment résoudre une équation du second degré ?
On la met sous la forme ax² + bx + c = 0, on calcule Δ = b² − 4ac, puis on applique x = (−b ± √Δ) ÷ 2a selon le signe de Δ.
Que se passe-t-il si le discriminant est négatif ?
L’équation n’a pas de solution réelle. Elle a deux solutions complexes conjuguées, que l’outil affiche sous la forme p ± qi.
Qu’est-ce qu’une racine double ?
C’est le cas Δ = 0 : les deux solutions sont égales à −b ÷ 2a, et la parabole est tangente à l’axe des abscisses.
Et si a vaut 0 ?
L’équation devient bx + c = 0, une équation du premier degré. L’outil la résout et donne x = −c ÷ b.
Pourquoi parle-t-on aussi de trinôme ?
Parce que l’expression ax² + bx + c compte trois termes. Résoudre l’équation revient à trouver les racines de ce trinôme.