Satz des Pythagoras: Rechner
Hypotenuse oder fehlende Kathete im rechtwinkligen Dreieck berechnen und prüfen, ob drei Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Mit Fläche, Umfang und Winkeln.
Spitze Winkel: α = 36,87° · β = 53,13° · 90°
c = √(a² + b²) = √(3² + 4²) = 5
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Passend zu diesem Tool ausgewähltDer Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck: a² + b² = c². Dabei sind a und b die Katheten, die den rechten Winkel einschließen, und c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel. Der Rechner bestimmt die Hypotenuse aus zwei Katheten, eine fehlende Kathete aus Hypotenuse und Kathete und prüft, ob drei gegebene Seiten ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Zusätzlich zeigt er Fläche, Umfang und die beiden spitzen Winkel. Gerechnet wird im Browser.
So funktioniert das Tool
- 01Aufgabe wählenHypotenuse berechnen, Kathete berechnen oder prüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
- 02Seiten eingebenDie bekannten Längen in derselben Einheit eintragen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
- 03Ergebnis ablesenDie fehlende Seite erscheint mit Formel, dazu Fläche, Umfang und Winkel.
Wann ist das nützlich?
- Handwerk und BauDiagonalen von Räumen, Dachsparren oder Rampen berechnen und rechte Winkel prüfen.
- Bildschirme und FernseherAus Breite und Höhe die Diagonale bestimmen, die bei Bildschirmen in Zoll angegeben wird.
- Mathe-UnterrichtAufgaben zum Satz des Pythagoras mit Rechenweg kontrollieren.
Beispiele
- HypotenuseKatheten 3 und 4 ergeben c = √(9 + 16) = 5. Fläche 6, Umfang 12, Winkel rund 36,87° und 53,13°.
- Fehlende KatheteHypotenuse 13 und Kathete 5 ergeben b = √(169 − 25) = 12.
- Leiter an der WandEine 5 m lange Leiter steht 1,5 m von der Wand entfernt. Sie reicht √(25 − 2,25) ≈ 4,77 m hoch.
Tipps für ein besseres Ergebnis
- Die 3-4-5-RegelAuf der Baustelle prüft man rechte Winkel mit 3 m, 4 m und 5 m: Passt die Diagonale genau, ist die Ecke rechtwinklig.
- Hypotenuse ist am längstenDie Hypotenuse ist immer die längste Seite. Ist eine Kathete länger, liegt ein Eingabefehler vor.
- Einheiten nicht mischenAlle Seiten in derselben Einheit eingeben, also nicht Meter und Zentimeter gemischt.
Der Satz
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Fläche des Quadrats über der Hypotenuse gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den beiden Katheten: a² + b² = c². Daraus folgen c = √(a² + b²) und b = √(c² − a²).
Die Umkehrung
Gilt für drei Seiten a² + b² = c², ist das Dreieck rechtwinklig. Der Prüfmodus nutzt das: Er sortiert die Seiten, prüft zuerst, ob überhaupt ein Dreieck entsteht, und vergleicht dann das Quadrat der längsten Seite mit der Summe der beiden anderen Quadrate.
Fläche, Umfang und Winkel
Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist das halbe Produkt der Katheten, der Umfang die Summe aller Seiten. Die spitzen Winkel ergeben sich aus dem Verhältnis der Seiten, etwa über den Tangens: Der Winkel gegenüber von a ist arctan(a ÷ b). Zusammen ergeben beide 90 Grad.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Hypotenuse?
Beide Katheten quadrieren, addieren und die Wurzel ziehen: c = √(a² + b²).
Wie berechnet man eine Kathete?
Hypotenuse und bekannte Kathete quadrieren, subtrahieren und die Wurzel ziehen: b = √(c² − a²).
Gilt der Satz für jedes Dreieck?
Nein, nur für rechtwinklige. Für andere Dreiecke braucht man den Kosinussatz.
Wie prüfe ich, ob ein Dreieck rechtwinklig ist?
Im Prüfmodus alle drei Seiten eingeben. Gilt a² + b² = c² für die längste Seite c, ist das Dreieck rechtwinklig.
Werden die Eingaben gespeichert?
Nein. Die Berechnung läuft im Browser.