Standardabweichung berechnen
Standardabweichung und Varianz einer Zahlenreihe berechnen, für die Grundgesamtheit und für eine Stichprobe, dazu Mittelwert und Anzahl. Beliebig viele Werte möglich.
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Passend zu diesem Tool ausgewähltDieser Rechner bestimmt die Standardabweichung und die Varianz einer Zahlenreihe, und zwar in beiden gängigen Varianten: für die Grundgesamtheit (Division durch n) und für eine Stichprobe (Division durch n − 1). Dazu zeigt er Mittelwert und Anzahl der Werte. Beliebig viele Zahlen lassen sich eingeben, auch negative Werte und Dezimalzahlen mit Komma; jede Kennzahl aktualisiert sich sofort. Das ist praktisch für Statistikaufgaben in Schule und Studium, für die Auswertung von Klausurnoten oder Messreihen und für Qualitätskontrollen.
So funktioniert das Tool
- 01Zahlen eingebenJeden Wert in eine eigene Zeile schreiben. Mit „Zahl hinzufügen“ kommen weitere Zeilen dazu.
- 02Ergebnisse ablesenMittelwert, beide Standardabweichungen und beide Varianzen erscheinen sofort und ändern sich mit jeder Eingabe.
- 03Passende Variante wählenFür eine vollständige Gruppe die Werte der Grundgesamtheit nehmen, für eine Stichprobe aus einer größeren Menge die Stichprobenwerte.
Beispiele
- Klassischer LehrbuchdatensatzFür 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 ist der Mittelwert 5. Die Standardabweichung der Grundgesamtheit beträgt genau 2, die der Stichprobe etwa 2,14.
- Lauter gleiche WerteFür 4, 4, 4, 4 sind Standardabweichung und Varianz 0, weil die Werte überhaupt nicht streuen.
- Kleine Stichprobe von 1 bis 5Die Stichproben-Standardabweichung (etwa 1,58) liegt etwas über der Standardabweichung der Grundgesamtheit (etwa 1,41), weil sie durch n − 1 = 4 statt durch 5 teilt.
Die Formeln
Zuerst wird der Mittelwert x̄ gebildet. Dann wird von jedem Wert der Mittelwert abgezogen und das Ergebnis quadriert. Die Summe dieser Quadrate geteilt durch n ist die Varianz der Grundgesamtheit, geteilt durch n − 1 die Varianz der Stichprobe. Die Standardabweichung ist jeweils die Quadratwurzel der Varianz.
Grundgesamtheit oder Stichprobe?
Die Grundgesamtheit ist richtig, wenn die Zahlen die ganze Gruppe abbilden, etwa alle Noten einer bestimmten Klasse. Die Stichprobe ist richtig, wenn die Zahlen nur einen Ausschnitt darstellen, aus dem auf eine größere Menge geschlossen wird, etwa eine Umfrage unter 50 Kundinnen und Kunden. Die Division durch n − 1 (Bessel-Korrektur) gleicht aus, dass eine Stichprobe die Streuung sonst systematisch unterschätzt.
Was die Standardabweichung aussagt
Sie misst, wie weit die Werte im Schnitt um den Mittelwert streuen, in derselben Einheit wie die Daten. Bei annähernd normalverteilten Daten liegen etwa 68 % der Werte innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert und etwa 95 % innerhalb von zwei.
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen n und n − 1?
Mit n wird die Streuung einer vollständigen Grundgesamtheit beschrieben. Mit n − 1 wird aus einer Stichprobe die Streuung einer größeren Menge geschätzt; das Ergebnis fällt etwas größer aus.
Warum brauche ich für die Stichprobe mindestens zwei Zahlen?
Weil durch n − 1 geteilt wird. Bei nur einem Wert wäre das eine Division durch null, und die Stichproben-Standardabweichung ist nicht definiert.
Was bedeutet eine Standardabweichung von 0?
Alle Werte sind identisch; es gibt keinerlei Streuung um den Mittelwert.
Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?
Die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung. Weil sie in quadrierten Einheiten vorliegt, lässt sich die Standardabweichung leichter mit den Originaldaten vergleichen.
Was ist die empirische Standardabweichung?
So wird im Schulunterricht oft die aus den vorliegenden Daten berechnete Standardabweichung genannt. Je nach Lehrbuch ist damit die Variante mit n oder mit n − 1 gemeint; der Rechner zeigt beide.