Calcul du PGCD et du PPCM
Trouver le PGCD et le PPCM de deux nombres entiers ou plus, avec l’algorithme d’Euclide. Pratique pour simplifier des fractions et trouver un dénominateur commun.
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Une sélection pour compléter cet outilCet outil calcule le PGCD (plus grand commun diviseur) et le PPCM (plus petit commun multiple) de deux nombres entiers positifs ou plus. Le PGCD sert à simplifier une fraction ou un ratio, le PPCM à trouver le plus petit dénominateur commun ou à savoir quand deux événements périodiques coïncident à nouveau. Le calcul repose sur l’algorithme d’Euclide, rapide même pour de grands nombres, et on peut ajouter autant de nombres que nécessaire. C’est la notion vue en classe de 3e, avec le résultat vérifiable en un instant.
Comment utiliser cet outil
- 01Saisir les nombresUn nombre entier positif par ligne, au moins deux.
- 02Ajouter d’autres nombres si besoin« Ajouter un nombre » crée une ligne de plus : le PGCD et le PPCM se calculent alors pour toute la liste.
- 03Lire le PGCD et le PPCMLes deux résultats s’affichent ensemble et se copient sur une seule ligne.
Dans quels cas est-ce utile ?
- Simplifier une fractionDiviser numérateur et dénominateur par leur PGCD pour obtenir la fraction irréductible.
- Trouver un dénominateur communLe PPCM des dénominateurs est le plus petit dénominateur commun pour additionner des fractions.
- Problèmes de périodicitéFeux, horaires, engrenages ou rotations : savoir quand deux cycles se retrouvent alignés.
Exemples
- Deux nombresPour 84 et 126, le PGCD vaut 42 et le PPCM 252.
- Trois nombresPour 12, 18 et 30, le PGCD vaut 6 et le PPCM 180.
- Deux bus au même arrêtUn bus passe toutes les 12 minutes, un autre toutes les 20 minutes. Ils repassent ensemble au bout du PPCM, soit 60 minutes.
Conseils pour un meilleur résultat
- PGCD × PPCMPour deux nombres a et b, le produit PGCD × PPCM est toujours égal à a × b. Pratique pour vérifier un calcul.
- Nombres premiers entre euxSi le PGCD vaut 1, les nombres sont premiers entre eux et leur PPCM est simplement leur produit.
- La méthode des facteurs premiersDécomposer chaque nombre en facteurs premiers donne aussi le PGCD et le PPCM, et montre pourquoi ils valent ce qu’ils valent.
L’algorithme d’Euclide
Le PGCD de deux nombres ne change pas si l’on remplace le plus grand par le reste de sa division par le plus petit. Pour 126 et 84 : 126 = 84 × 1 + 42, puis 84 = 42 × 2 + 0. Le dernier reste non nul, 42, est le PGCD. La méthode des soustractions successives aboutit au même résultat, plus lentement.
Du PGCD au PPCM
Le PPCM de deux nombres se déduit du PGCD : PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Pour 84 et 126, on obtient 84 × 126 ÷ 42 = 252. Avec plus de deux nombres, on procède de proche en proche : le PPCM des deux premiers, puis le PPCM de ce résultat et du suivant.
Uniquement pour les nombres entiers
Diviseurs et multiples n’ont de sens que pour les nombres entiers : 2,5 n’a pas de PGCD. Avec des décimales, on multiplie toutes les valeurs par la même puissance de 10, on calcule, puis on divise le résultat d’autant si la question l’exige.
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD de deux nombres ?
Avec l’algorithme d’Euclide ou la décomposition en facteurs premiers. Le PGCD de 12 et 18 vaut 6 : c’est le plus grand nombre qui divise les deux.
Comment calculer le PPCM ?
On multiplie les deux nombres et on divise par leur PGCD : 12 × 18 ÷ 6 = 36.
À quoi servent le PGCD et le PPCM ?
Le PGCD sert à simplifier fractions et ratios, le PPCM à trouver un dénominateur commun et à résoudre les problèmes de cycles qui se répètent.
Peut-on calculer avec plus de deux nombres ?
Oui, il suffit d’ajouter des lignes. Le calcul se fait de proche en proche sur toute la liste.
Que signifie « premiers entre eux » ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD vaut 1, comme 8 et 15. Leur PPCM est alors leur produit, ici 120.