ggT- und kgV-Rechner
Den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr ganzen Zahlen berechnen.
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Passend zu diesem Tool ausgewähltDer Rechner bestimmt den größten gemeinsamen Teiler (ggT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei oder mehr positiven ganzen Zahlen. Den ggT braucht man zum Kürzen von Brüchen und Verhältnissen, das kgV zum Gleichnamigmachen von Brüchen und für Fragen wie „Wann treffen sich zwei Takte wieder?“. Grundlage ist der euklidische Algorithmus, der auch bei großen Zahlen schnell ist. Beliebig viele Zahlen lassen sich hinzufügen. Die Rechnung läuft im Browser.
So funktioniert das Tool
- 01Zahlen eingebenMindestens zwei positive ganze Zahlen, je eine pro Feld.
- 02Weitere Zahlen ergänzenMit „Zahl hinzufügen“ den ggT und das kgV von drei oder mehr Zahlen bestimmen.
- 03Ergebnis ablesenggT und kgV erscheinen sofort und lassen sich als eine Zeile kopieren.
Wann ist das nützlich?
- Brüche kürzenZähler und Nenner durch den ggT teilen, und der Bruch ist vollständig gekürzt.
- Hauptnenner findenDas kgV der Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner beim Addieren von Brüchen.
- Takte und FahrpläneHerausfinden, wann zwei regelmäßige Ereignisse wieder gleichzeitig stattfinden.
Beispiele
- Zwei Zahlen12 und 18 haben den ggT 6 und das kgV 36.
- Drei Zahlen8, 12 und 20 haben den ggT 4 und das kgV 120.
- Busse im TaktFährt eine Linie alle 12 und eine alle 15 Minuten ab derselben Haltestelle, starten beide alle 60 Minuten gleichzeitig: kgV(12, 15) = 60.
Tipps für ein besseres Ergebnis
- ggT mal kgVFür zwei Zahlen gilt: ggT × kgV = a × b. Bei 12 und 18 ist 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Das eignet sich gut zur Kontrolle.
- Teilerfremde ZahlenIst der ggT 1, heißen die Zahlen teilerfremd, und das kgV ist einfach ihr Produkt.
- Primfaktoren als WegMit der Primfaktorzerlegung lassen sich ggT und kgV auch von Hand bestimmen: gemeinsame Faktoren in der kleinsten Potenz ergeben den ggT, alle Faktoren in der größten Potenz das kgV.
Der euklidische Algorithmus
Der ggT zweier Zahlen bleibt gleich, wenn man die größere durch den Rest der Division ersetzt. Bei 18 und 12: 18 geteilt durch 12 lässt den Rest 6, 12 geteilt durch 6 lässt den Rest 0, also ist der ggT 6. Das Verfahren ist über 2.000 Jahre alt und auch bei sehr großen Zahlen schnell.
Vom ggT zum kgV
Das kgV zweier Zahlen ergibt sich aus dem ggT: kgV(a, b) = a × b ÷ ggT(a, b). Bei mehr als zwei Zahlen wird schrittweise gerechnet: erst das kgV der ersten beiden, dann das kgV dieses Ergebnisses mit der nächsten Zahl.
Nur für ganze Zahlen
Teiler und Vielfache sind für ganze Zahlen definiert. Eine Dezimalzahl wie 2,5 hat deshalb keinen ggT. Wer mit Dezimalzahlen arbeitet, multipliziert alle Werte zuerst mit derselben Zehnerpotenz.
Häufige Fragen
Wie berechnet man den ggT?
Mit dem euklidischen Algorithmus oder über die Primfaktoren. Der ggT von 12 und 18 ist 6, denn 6 ist die größte Zahl, die beide ohne Rest teilt.
Wie berechnet man das kgV?
Produkt der Zahlen geteilt durch ihren ggT: 12 × 18 ÷ 6 = 36.
Wofür braucht man ggT und kgV?
Den ggT zum Kürzen von Brüchen, das kgV zum Gleichnamigmachen und für wiederkehrende Ereignisse.
Geht das auch mit mehr als zwei Zahlen?
Ja. Beliebig viele Zahlen lassen sich hinzufügen, gerechnet wird schrittweise.
Werden meine Eingaben gespeichert?
Nein. Die Berechnung läuft im Browser.