Décomposition en facteurs premiers
Décomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, avec les puissances, les divisions successives et la liste de tous ses diviseurs.
360 = 2³ × 3² × 5
360 n’est pas premier : il a 24 diviseurs.
Divisions successives
- 360 ÷ 2 = 180
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
Tous les diviseurs (24)
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360
Essayer un autre outil
Une sélection pour compléter cet outilLa décomposition en facteurs premiers écrit un nombre entier comme un produit de nombres premiers, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5. L’outil donne cette écriture avec les puissances, les divisions successives par les plus petits nombres premiers, et la liste complète des diviseurs. Il indique au passage si le nombre est premier. Les nombres jusqu’à mille milliards sont acceptés. C’est la méthode utilisée au collège pour trouver un PGCD, un PPCM ou simplifier une fraction, et un bon moyen de vérifier un exercice.
Comment utiliser cet outil
- 01Saisir un nombre entierUn entier de 2 à mille milliards, sans espace superflu.
- 02Lire la décompositionLe produit de facteurs premiers s’affiche avec les exposants, ainsi que les divisions successives qui y mènent.
- 03Consulter les diviseursLa liste de tous les diviseurs suit, avec leur nombre total.
Dans quels cas est-ce utile ?
- Trouver un PGCD ou un PPCM à la mainComparer les décompositions de deux nombres pour en tirer le PGCD et le PPCM.
- Simplifier une fractionRepérer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
- Tester un nombre premierSavoir rapidement si un grand nombre est premier.
Exemples
- 360360 = 2³ × 3² × 5. Il a (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24 diviseurs.
- 1 0011 001 = 7 × 11 × 13 : un nombre qui paraît premier mais ne l’est pas.
- 9797 est premier : aucun nombre premier jusqu’à sa racine carrée (environ 9,8) ne le divise.
Conseils pour un meilleur résultat
- Utiliser les critères de divisibilitéDivisible par 2 s’il est pair, par 3 si la somme de ses chiffres l’est, par 5 s’il finit par 0 ou 5.
- S’arrêter à la racine carréePour savoir si n est premier, il suffit de tester les nombres premiers jusqu’à √n.
- Compter les diviseursOn ajoute 1 à chaque exposant et on multiplie : 2³ × 3² × 5 donne 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs.
Qu’est-ce qu’un nombre premier ?
Un nombre premier est un entier supérieur à 1 qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13… ; 1 n’est pas premier. D’après le théorème fondamental de l’arithmétique, tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de nombres premiers, à l’ordre près.
La méthode des divisions successives
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient jusqu’à obtenir 1. Pour 360 : 360 ÷ 2 = 180, ÷ 2 = 90, ÷ 2 = 45, ÷ 3 = 15, ÷ 3 = 5, ÷ 5 = 1. Les diviseurs utilisés, 2, 2, 2, 3, 3 et 5, sont les facteurs premiers.
Des facteurs premiers au PGCD et au PPCM
Pour le PGCD, on garde les facteurs communs avec leur plus petit exposant ; pour le PPCM, tous les facteurs avec leur plus grand exposant. 360 = 2³ × 3² × 5 et 84 = 2² × 3 × 7 donnent un PGCD de 2² × 3 = 12 et un PPCM de 2³ × 3² × 5 × 7 = 2 520.
Questions fréquentes
Comment décomposer un nombre en facteurs premiers ?
On le divise par le plus petit nombre premier qui tombe juste, puis on répète avec le quotient jusqu’à 1. Les diviseurs utilisés sont les facteurs premiers.
Le nombre 1 est-il premier ?
Non. Un nombre premier possède exactement deux diviseurs, et 1 n’en a qu’un.
Jusqu’à quelle taille de nombre l’outil fonctionne-t-il ?
Jusqu’à mille milliards, soit 1 000 000 000 000. Au-delà, le nombre n’est pas décomposé.
Comment connaître le nombre de diviseurs ?
On multiplie les exposants augmentés de 1. 360 = 2³ × 3² × 5 a 4 × 3 × 2 = 24 diviseurs.
Pourquoi 2 est-il le seul nombre premier pair ?
Tout autre nombre pair est divisible par 2, donc il a au moins trois diviseurs : 1, 2 et lui-même.